Urodził się w roku 1932 w Janikowie. W latach 1954-1959 studiował w Akademii Sztuk Pięknych w Krakowie malarstwo i grafikę. W roku 1959 uzyskał dyplom na Wydziale Grafiki ASP w pracowni litografii u profesora Srzednickiego i w pracowni plakatu u profesora Makarewicza. W roku 1961 rozpoczął pracę pedagogiczną jako asystent na Wydziale Architektury Politechniki Krakowskiej. Aktualnie kieruje Pracownią Projektowania Grafiki Książki i Typografii ASP. Dwukrotnie kierował Katedrą Grafiki Projektowej. Równolegle, od ukończenia studiów nieprzerwanie zajmuje się grafiką warsztatową, rysunkiem i malarstwem; rezultaty tej pracy pokazywał na wielu wystawach, indywidualnych i zbiorowych, w kraju i za granicą. Utrzymuje stałą współpracę z galeriami w Niemczech i Stanach Zjednoczonych. Prace Romana Banaszewskiego znajdują się w zbiorach muzealnych, galeriach oraz w kolekcjach prywatnych w kraju i za granicą m. in. Ministerstwa Kultury i Sztuki w Warszawie, Muzeum Narodowego w Warszawie i Krakowie, Muzeum Ziemi Bydgoskiej, Muzeum Pomorskim w Gdańsku, Muzeum Pomorza Zachodniego w Szczecinie, Muzeum Sztuki w Łodzi, Muzeum Narodowego w Poznaniu, Galerii Sztuki "22" w Oslo, Pratt Institiute w Nowym Jorku, Gabinetu Grafiki w Genewie, Muzeum Miejskiego w Tokio, Biblioteki Kongresu w Waszyngtonie, Nowej Darmstadzkiej Secesji w Darmstadt, Hessisches Parlamenthaus w Bonn, Galerii Kapller w Darmstadt, Galerii Art & Design w Burgfelden. Poprzez kontakty artystyczne z twórcami Nowej Darmstadzkiej Secesji nawiązane w roku 1978, Banaszewski, jak również wielu innych twórców ze środowiska krakowskiego uczestniczy w corocznych plenerach malarskich w południowej Francji. Owocem tych spotkań są dziesiątki wystaw na terenie Francji, Włoch i Niemiec. W roku 2000 Roman Banaszewski wziął udział w Międzynarodowym Plenerze w San José de la Esquina w Argentynie oraz w wystawie poplenerowej w galerii Uniwersytetu w Rosario. W roku 2002 otrzymał "Złoty Laur" za mistrzostwo w sztuce za rok 2001, przyznawany przez Fundację Kultury Polskiej.